Le nombre d’or

Essayons une explication rapide et au plus simple :

Un nombre étonnant, mystérieux et magique pour avoir fait parler de lui depuis la plus haute antiquité.

On le note φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (Vème siècle avant J.C.) qui participa à la décoration du Parthénon sur l’Acropole à Athènes.

On le réduit principalement à 1,618 car les décimales sont infinies

φ = Nombre d’or1,61803398875

1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041…

5000 décimales du nombre d’or

Par définition, le nombre d’or est l’unique solution positive de l’équation du second degré : x²-x-1 = 0

Il est égal à    \varphi ={\frac  {1+{\sqrt  5}}2}.

C’est donc un rapport (Numérateur/dénominateur), une proportion.

Quant à son nom, il a évolué avec le temps :

Le mathématicien et moine franciscain Luca Pacioli (1445-1517) parle de « Divine proportion », plus tard le physicien Johannes Kepler (1571-1630) le désigne comme le « joyau de la géométrie ». Alors que pour Léonard de Vinci ce sera la « section dorée ». Il faudra attendre 1932, avec le prince Matila Ghyka, diplomate et ingénieur pour entendre le terme de « nombre d’or ».

On retrouve des traces du nombre d’or bien avant les grecs. En Egypte par exemple, coïncidence ou volonté d’y parvenir, le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est égal au nombre d’or.

Hasard ou volonté ésotérique, on retrouve le rectangle d’or sur la façade du Parthénon à Athènes.
Sur la photo : DC/DE = φ

Pour tracer un rectangle d’or de longueur a et de largeur b, le plus simple est de dessiner un carré de côté b. En prenant le milieu de la base comme centre, on trace un cercle passant par les 2 sommets opposés. L’intersection de la droite prolongeant la base du carré et du cercle détermine l’extrémité de la base du rectangle d’or. Il apparaît comme construit par l’adjonction à un carré de côté de longueur b, d’un rectangle de côtés de longueur b et a − b.

Un rapide calcul montre que ce rectangle est encore d’or :

{\displaystyle {\frac {a-b}{b}}={\frac {a}{b}}-1={\frac {a+b}{a}}-1={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\varphi }}\quad {\text{donc}}\quad {\frac {b}{a-b}}=\varphi .}

En disposant côte à côte deux rectangles identiques, l’un en format paysage et l’autre en format portrait, on dessine les contours d’un nouveau rectangle. Le rectangle de départ est d’or si et seulement si sa diagonale est confondue avec la diagonale du grand rectangle.

Cette méthode peut être prolongée indéfiniment.

Si, dans chaque carré est dessiné un quart de cercle d’extrémités deux côtés du carré on obtient une spirale. Ce graphique est une bonne approximation d’une spirale d’or.

Fibonacci spiral 34.svg

La spirale obtenue se rencontre souvent dans la nature : tournesols, pommes de pins, coquillages, disposition des feuilles ou des pétales sur certaines plantes.

  

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Sources : Wikipédia, maths-et-tiques, trucsmaths, villemin.gerard

Auteur : Lani

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